東大入試の数学は一般的には非常に難しいと言われている。

昔から受験数学の最高峰という位置付けにたっていた。

しかし、その難易度は実は年によっても、問題ごとによってもバラバラである

2018年度の文系数学はどうだったのであろうか?

受験生はどの問題を確実にとかなければならなかったのか?

また、河合、駿台、東進の予備校3社の解答を比較するとどうなるのか?

ここでは、現役東大生による2018年度の東大数学(文系)の解答速報の比較とここでしかわからない東大生による解説のまとめを発表する。

この記事を読めば、2018年度の東大文系数学の解答速報だけではわからない詳しい解説がわかる。

全体の総評

昨年度と比べるとやや難化したように思えるが、昨年度がかなり易化しただけなので、他の年度も合わせて比べると、文系数学としては標準的な難易度だといえる

ただ、正直どの問題もそこまで難しくはない

というのも見た瞬間に大まかな方針が見えてしまう問題ばかりだからだ。

いわゆる、考えて考えた末にひらめいて、やっと解答できるという問題がないのだ。

なので、人によっては、細かい条件整理が正しくできたり、計算ミスが全くなければ満点を目指すことも可能であったと思われる

問題別の分野と難易度は以下のようになっている。

問題 分野 難易度
第一問 図形と方程式 標準
第二問 数列 標準
第三問 微分法 標準
第四問 ベクトル、軌跡と領域、定積分 標準

どれも多少細かい条件整理が複雑であるが、解答の方針がすぐたってしまう問題ばかりで難易度の差があまりないように思われる

先ほども述べた通りこのような問題は満点がでてもおかしくない。

この中で強いて優先的にとくべきなのは、第二問だろう。

複雑なのは多少のコンビネーションの計算だけで、条件整理自体は全く複雑ではないので計算ミスさえなければ完答が容易にできてしまう。

第一問の(2)などは後ほど詳しく解説するが、河合塾の答案のように内積を考えればそこまで苦労することなく答えに辿り着けるだろう。

第三問は理系にとっては青チャートにも乗っているような標準的な問題で解けて欲しいというのが本音である。

第四問に関しても軌跡と領域、ベクトルの本質的な理解があれば全く難しくなく、あとは正しく計算するのみである。

なので、僕が最初この文系の問題を見たときは「なんやこれ、全部とけるやんけ」と思って全てやや易にしてしまうところであったが、しっかりと昨年度などの問題や予備校の解答速報を見て、「なんだこれが標準的なのか」と思ったところである。

今までしっかり演習をこなしてきた受験生にとっては何も問題なくスラスラ解けたであろう。

第一問(分野:図形と方程式 難易度:標準的)

この問題は、東大文系数学の極めて標準的な問題だといえるだろう。

解答の方針はすぐに立つ。

(1)は、絶対値をうまく外せるかで解答に差が出たと思われるがこのようなところでもしっかり計算することが重要である。

(2)も条件を同値変形していけば、多少同値変形が複雑になるが問題なく解答にたどり着けるだろう

しかし、先ほども解説した通り、河合塾はpx + qyというのが、ベクトル(x, y), (p, q)の内積に等しいことに注目した。

このように見れば、D上の任意の点Qに対してベルトルOQのがとりうる傾きを見てあげれば、それらが90度以上になる範囲を考えるだけですみ、複雑な同値変形は全く不要となる。

僕もこのやり方は思いつかず、普通に何も考えずに計算してしまったが、このように図形的な性質を用いれば、計算がかなり省けてしまう可能性が高い

典型的な例としては、動直線の通過領域を求める問題で包絡線を考えられる場合は考えると簡単に求まるというものだ。

このようにうまく計算を省略できると時間もかからず計算ミスのリスクも回避できるので、このようなテクニックも使えるとよい。

第二問(分野:数列 難易度:標準的)

あえていうのであれば、この問題が四問のなかでは一番簡単だろう。

まず、(1)と(2)はぱっと計算すればすぐに答えられる話である。

何も難しくなく進研模試で出題されてもおかしくないレベルだ。

(3)については(1)と(2)でだされた丁寧すぎる誘導にしっかり乗ってあげて答えるだけである

a7が1より小さく、なおかつ数列が減少列であることが2からわかるので、a7以降の列は整数ではない。

なので、順番にa1からa6まで見ていけばどれが整数なのかわかる。

枝問の(1)は正直いらなかったのではないかと思われる。

東大の理系数学の第二問と似ており理系の方は、(1)のような枝問がなく数列も少し変化しており、誘導は個人的には綺麗かなと思うが、これはちょっと芸がなさすぎるかなと…

いずれにしても、この問題が一番簡単だと思われるので完答するのであればこの問題である

第三問(分野:微分法 難易度:標準的)

標準的な三次関数の解の範囲み関する問題である。

まず、(1)は学校の定期テストで出題されるレベルの問題なので確実にとって欲しい。

(2)に関しては、青チャートに載っていてもおかしくないというレベルではあるが、少し同値変形した後のグラフを書くのが難しかっただろう

重解の部分に気をつけて図示していくことが重要である。

理系では(1)の枝問がなく単純に(2)だけの問題が第四問として出題されているが、理系であればこれはやや易くらいの難易度になる。

第四問(分野:ベクトル、軌跡と領域、定積分 難易度:標準的)

この問題もそこまで難しくはない

まず(1)であるが、これもしっかりと軌跡についての理解があれば解くのは難しくない。

学校の定期テストレベルの問題だ。

(2)関しては、僕は普通に同値変形してしまったのであるが、河合塾や駿台の解答のように、点Sは点QをベクトルOR分だけ平行移動させることになるので、これも容易にSの通過領域が判明する

これも第一問で解説したのと同様に、図形的な知識を使って存在条件を求めるやり方で、これができると計算ミスのリスクも減りより短時間で解答することができる。

あとは、正しく面積をもとめるだけだ

これも積分を使えば問題なく面積が求まるだろう。

各予備校の解答について

ここまで、各大問ごとの解説を書いてきた。

毎年、駿台、河合、東進の予備校3社が解答速報を行うが、この3社の解答は、解法が問題によっては違うことがある

では、この2018年度の各予備校の解答速報はどうだったのだろうか?

ここでは、大問別に各予備校の2018年度東大文系数学の解答速報を比較していく。

違う解法を研究することは数学力のアップにもつながる!

違うところはどうして違うのか、どういうことを利用しているのかしっかり把握していこう

第一問

第一問は基本的に先ほども述べたが解法が二つ存在する

(1)については、東進、駿台、河合ともそこまで解答に違いは見られず、このやり方しかほぼ解法はないと思われる。

(2)についてだが、先ほども述べた通り、何も考えずに条件を同値変形していくやり方と内積を利用するやり方がある。

(2)の一つ目のやり方は3社とも言及しているが、内積を利用したやりかたで解答を作っているのは河合だけだ。

東進は解答は同値変形でだしているものの、注意書きとして内積の利用もできることに言及している。

基本的に多くの人が同値変形を用いたかと思われるが、内積の利用のほうが先ほども述べた通り賢いやり方である。

難易度に関しては、東進、駿台が標準にしているのに対して、河合はやや難としている。

文系の基準が少し低いとはいえ、見た瞬間に解法が浮かばなければいけない問題ではあるので、我々としては東進と駿台にならって難易度を標準としている。

第二問

第二問については、3社とも同じ解法を使って解いている

というのも、誘導がしっかりついているので、それ以外の解法を思い浮かべることはほぼないと思われるからだ。

素直に誘導にのってしまえば簡単に答えが出る問題である。

これは、3社とも難易度を標準としている。

我々としても典型的な文系の数列の問題といえるので難易度は標準とした。

ただ、そこまで差異はないものの誘導が見えすぎているというのと、同値変形などによって場合わけの必要性などがないなどから、この問題が4問中一番簡単なのではないかというのが我々の見解だ

第三問

第三問についても目立った解法の違いは3社の中では見られなかった

これも、一番キーポイントとなる部分が(1)の誘導で与えられてしまっている。

また、この誘導が仮になかったとしても解法はほぼ1つしかない

典型的な解の存在条件に関する問題だ。

難易度については、駿台、河合が標準としているのに対して、東進がやや易としている。

解法自体は簡単であるが、同値変形や計算が多少ややこしく、グラフも接点をもったりと多少複雑ではあるので、他の問題と比較した時に難易度はそこまで変わらないということで、我々としては難易度を標準とした。

第四問

(1)に関しては、東進、駿台、河合の解答の中では目立った違いは見られなかった

ただ、(2)については、東進と河合、駿台で解答の方針が2点ほど分かれている

まず、点Sの存在領域を求めるところについては、河合と駿台はQの軌跡がx軸に1だけ平行移動したときの通過領域であることをベクトルの性質から導出している

それに対して、東進は多少の式変形でわかりやすくしてから通過範囲を導出している。

どちらも正しいやり方でなおかつ本質的にはかわらない

ここからが問題なのであるが、東進と駿台は求積の際に、二つの放物線に挟まれた領域が長方形の面積に等しいことを利用している。(詳しくは解答速報参照)

たしかに、これは結果的には正しく考え方も間違っていないのであるが、高校数学において積分の定義がかなり曖昧である以上このような変形は少し根拠不十分になりうるのではないかと思われる

しかも、この図形に関しては複雑な求積方法を必要とせず単に二次関数の積分から面積を導出することができるのでこの考え方を答案に用いるには少し危険である

もちろん知識として知っておくことは幅広い視点で数学を見ることができるので良いのであるが、解答には十分な根拠が必要であるという点からこのような解答は不適切ではないかと思われる

難易度については東進、河合ともやや易、駿台が標準としている。

ただ、この問題も同様に他の問題とあまり難易度の差異を感じないので我々としては難易度は標準とした。

まとめ

以上、現役東大生による2018年度の東大数学(文系)の解答速報の比較とここでしかわからない東大生による解説のまとめだ。

去年が簡単だった分少し難化したかのように思えるかもしれないが、他の年度もしっかり比較すると例年並の難易度であった。

また、今回の問題はどれもぱっと解法が思いつく問題ばかりで、特にじっくり考え込む問題はなかった。

多少途中の同値変形や計算はたしかに煩雑であったが、第一問の内積や第四問の平行移動など、図形的な知識を使うことによって、計算ミスのリスクが回避でき、解答時間が多少短くなるのでこのテクニックは覚えておこう

また、このような煩雑な計算や同値変形さえ乗り越えてしまえば、満点をとることも十分可能であった問題ではないかと思われる

近年東大の数学は特に文系においては易化が激しい。

10年前と比べてもかなり難易度が下がっている

なので、文系であっても、理系の国語とは違いしっかりと対策してこればかなり高得点が期待できる

逆に文系だからといってしっかり対策しないとここで点数に差が開いてしまう

文系であっても東大受験者であればしっかり数学を対策しておくことが重要である