大学受験の最高峰と言われている東大では、一般的に数学も難しいと言われている。

しかし、近年東大数学は昔に比べてだんだん難易度が落ちている傾向にある。

また、問題によっても難易度にばらつきがある。

理系では難問もまだ含まれるものの昨年度はとうとう網羅系参考書にも乗っているような簡単な問題が出題された。

受験生はいったい本番でどの問題を落とさずしっかり解答できなければならないのだろうか?

また、駿台、河合、東進、代ゼミの4社が解答速報を出しているが、この解答も予備校によって違うこともある。

よって、この記事では、現役東大生による2020年度の東大数学(理系)の解答速報の比較とここでしかわからない東大生による解説のまとめを発表する。

この記事で、2020年度の東大理系数学の全てがわかる。

特に来年、再来年東大を目指すであろう人は是非とも参考にしてほしい。

全体の総評

今年度の東大の理系の数学は文系同様に難化したといえる。

各問題の出題分野と難易度は以下のようになっている。

問題 分野 難易度
第一問 極限、不等式 標準
第二問 平面図形 標準
第三問 微分法、積分法 標準
第四問 数列、整式
第五問 空間図形、積分法 標準
第六問 二次曲線、三角関数 やや難

標準的な問題が4つと難しい問題が2つとなっている。

近年1、2問は簡単な問題が含まれているのに今年度は一つも簡単な問題がないといってよい。

また、すぐ方針が決まる問題でも微積の計算がややこしかったりと全体として近年稀に見るほどこの6問の組み合わせはむずかしいだろう。

このセットであれば、標準の問題をできれば3問は取りたいところだ。

しかし、4完するのは時間的にもかなり難しいだろう。

2完であとは少々部分点をとっても他の教科次第では合格することも可能である。

また、内容的には、教育課程が変更されてから複素数平面は毎年出題されていたが、今年はその出題が無かったのが大きな特徴ともいえる。

第一問(分野:極限、不等式 難易度:標準)

この問題は難易度は標準としたが、難易度としては少し難に近めの標準問題である。

(1), (2)に関しては、x -> ∞のときを考えると自明なのだが、この発想が出てこないと解けないだろう。

また、この当たり前のことを証明するときに使うのが背理法である。

x -> ∞のときに証明すべき題意を否定して、矛盾を導き出すことは思いついてしまえば簡単である。

(3)は(1), (2)の条件の元で、a, b, cそれぞれどのような値になるか絞って、不等式自体を同値変形したときに、必ずx > 0となることを証明すればよい。

(1), (2)ができてしまえば(3)もできるうえ、発想が出てきにくいが出てしまえば一瞬で解けてしまうということを考えると、問題の難易度は標準が妥当である。

ただ、最初の発想があったかなかったかで、解けた人と解けなかった人がかなりはっきり別れた問題となった。

第二問(分野:平面図形 難易度:標準)

この問題は、理系数学としてはは、標準的な問題だ。

図形的に、点Xの通過範囲がどのような図形になるかということが考えることができれば、容易に解けただろう。

最悪、思いつけなくても、例えばA(0, 0), B(a, b), C(c, 0), X(x, y)として計算することができる。

かなり煩雑になるが、入試の現場での最終手段としてはわるくないと思う。

この問題は標準の4問の中では比較的解きやすい問題なので、あまり落としたくはない問題だ。

第三問(分野:微分法、積分法 難易度:標準

この問題も東大数学としては標準的な微積の問題となっている。

解答の方針はすぐ立つので、あとは多少煩雑になる微積の計算をなんとかやりこなせば得点するのは難しくない問題である。

この問題のセットであれば絶対に落としたくない問題の一つだ。

(1), (2)は指示通り計算するだけなので、東大理系の受験生であればできて当然である。

(3)は(1), (2)でもとめた線分OPの傾きと長さを元にPの概形を書くところで少し頭を使うかもしれない。

ただ、これさえ乗り切ってしまえばあとはただ積分計算するだけである。

この問題を落とすようでは正直合格は厳しいだろう。

第四問(分野:数列、整式 難易度:難)

この問題はかなり難しい問題だ。

こちらは、文系でも第四問として出題されているが、理系だからといって簡単な問題になるというわけではない。

この問題をみてすぐに解答が思い浮かぶ人はかなり少ないと思われる。

なので、他の問題が解けていない状況でこの問題について考え込んで時間を費やすのはかなりもったいない。

この問題の難しいところは、まず(1)で2の累乗の和を2乗したときの展開式を用いることができるかどうかということだ。

大学入試の数学の中でよく使う解法でもないので、かなり思いつきにくい。

また、(2)もfn(x)を整式の積の形で表すという発想がなければ難しい。

(3)は正直あとは(2)の答えの整式の最高次の項の係数比較でなんとかなるので、(2)まで解けてしまえば(3)を解くのは用意でろう。

しかし、(1), (2)が如何せん思いつきにくいのでこの問題は飛ばしてほかの問題に時間を割くというのが賢明である。

第五問(分野:空間図形、積分法 難易度:標準)

この問題も東大理系数学らしい標準的な求積の問題である。

まず、(1)ではTの形がイメージできるかどうかがかなり大切になる。

イメージできてしまえば答えを出すのは簡単だろう。

仮にイメージできなくとも、少々面倒だが、第二問のように、パラメーターを設定してベクトルを用いて図示することもできる。

(2)が少々難しかっただろうが、z = 一定なる平面で切った時の切り口を正しく導き出せるかがポイントだ。

これさえできてしまえば、あとは積分するだけなので、切り口の形を正しく求められるかがこの問題の大きなポイントとなっただろう。

昨年度までの簡単な問題では、最高難易度の求積問題レベルであるが、今年の6問の組み合わせではこの問題も決して落としたくはない。

第六問(分野:二次曲線、三角関数 難易度:やや難)

各予備校の解答について

ここまで各大問の解説を行ってきた。

実は、毎年駿台、河合、東進、代ゼミが解答速報を行うのであるが、これらの解答が問題によっては違う場合がある。

異なる解法を分析していくのは、数学の勉強に非常に役立つことである。

よって、ここでは、駿台、河合、東進に加えて今年は代ゼミの予備校4社の解答速報の比較を行う。

4社の解答速報を見比べて、違う視点を勉強したり、一番妥当な解法はどれか考えてみてほしい

第一問

第二問

第三問

第四問

第五問

第六問

まとめ